Factoreo de polinomios

Primer caso

Factor común

9 + 15 - 12 +27
Figura el factor común 3, por lo tanto se puede sacar ese factor y se tiene:

9 + 15 - 12 + 27 = 3. ( 3 + 5 - 4 + 9 )
En el polinomio 3 x + xb - 1/2 xc el factor común es x y se tiene :

3x + xb - 1/2xc = x.( 3 + b - 1/2c)
En el polinomio 2x4a - 4x3a2b + 1/2 xa5c

Sacando factor común x a se tiene:

2x4a - 4x3a2b + 1/2 xa5c = xa: ( 2x - 4x2ab + 1/2a4c )
Regla: Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común,dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.

Segundo caso

Descomposición en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo.

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común

(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )
Saco el factor común de cada grupo

a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

(a + b) . ( 2x -y +5 )
Regla: Si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor común.Si queda la misma expresión en cada uno de los paréntesis,se la saca,a su vez,como factor común, quedando así factoreado el polinomio dado.

Tercer caso

Trinomio cuadrado perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.36x2 + 12xy2 + y2 + y4

Es un trinomio cuadrado perfecto
El primer término es el cuadrado de 6x pues (6x)2 = 36x2; el último es el cuadrado de y2, pues (y2)2 = y4, y el segundo término es el doble producto de las bases de esos cuadrados, es decir de 6x por y2,pues 2 × 6x × y2 = 12xy2(6x + y2 )2 = (6x + y2).(6x + y2 )

36x2 + 12xy2 + y4
En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos,en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado:


(6x - y2 )2 = (6x - y2 ).(6x - y2 )
6x2 - 12xy2 + y2

Cuarto caso

Cuatrinomio cubo perfecto

Todo cuatrinomio de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 en el que dos términos:
a3 y b3, son cubos perfectos; el tercer término : 3a2b, es el triplo del cuadrado de la base del primer término por la base del segundo, y el cuarto término 3ab2,es el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundox3 + 6x2y + 12xy2 + 8 y3




Es un cuatrinomio cubo perfecto, pues:

x3 = (x)3
8y3 = ( 2y )3
6x2y = 3.(x)2.2y
12xy2 = 3.x.(2y)2

Este nombre de cuatrinomio cubo perfecto se debe a que dicho cuatrinomio proviene del cubo de un binomio :


( x+ 2y )3 = ( x+ 2y ). ( x+ 2y ).( x+ 2y ) =
x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

En el caso de una resta :

( x -2y )3 = ( x - 2y ). ( x - 2y ). (x - 2y )
x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y 3

Quinto caso

Diferencia de cuadrados

El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo:( a +b ) . ( a - b) = a2 - b2

25 a2y4 - 1/64 x6z8 =

( 5ay2 - 1/8x3z4) . ( 5ay2 +1/8x3z4)

Sexto caso

Suma o diferencia de potencias de igual grado

La suma de potencias de igual grado de exponente impar es divisible unicamente por la suma de sus bases.

( x3 + a3 ) : ( x + a ) = ( x2 - ax + a2)

Como se trata de una división exacta, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente. Luego:

( x3 + a3 ) = ( x + a ). ( x2 - ax + a2 )

La diferencia de potencias de igual grado de exponente impar es igual al producto de la diferencia de las bases por el cociente de dividir la primera diferencia por la segunda



( m3 - 27 n3 ) : ( m - 3 n) = ( m2 + 3mn + 9 n2)

La diferencia de potencias de igual grado de exponente par, es divisible por la suma y la diferencia de sus bases

( x6 - y6 ) : ( x + y ) =

( x + y ). ( x5 - x4y + x3y2 - x2y3 + xy4 - y5 )

( x6 - y6 ) : ( x - y ) =

( x - y ). ( x5 + x4y + x3y2 + x2y3 + xy4 +y5 )

La suma de potencias de igual grado de exponente par no se puede factorear