a resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3
También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
En matemáticas, un polinomio es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.
Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.
En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicos y geometría algebraica.
Las funciones polinómicas reales son funciones suaves, es decir, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes). Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son muy sencillas de evaluar numéricamente, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.
Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Estas son usadas en la interpolación spline y en gráficos por computadora.
Siempre empezamos enumerando las ecuaciones, el método cramer nos pide encontrar tres determinantes:
determinante del sistema ∆S
determinante de la x ∆X
determinante de la y ∆Y
La forma de encontrar las determinantes es muy sencilla, de hecho este método es de mayor preferencia por los estudiantes, ya que solo se debe multiplicar para encontrar el valor de las incógnitas, pero para poder hacer este método siempre la ecuación debe tenerTermino de x termino de Y, termino independiente
Aquí una breve explicación de este método:
1. Para encontrar el determinante del sistema, ósea de las dos ecuaciones, debemos colocar los coeficientes de las letras X & Y, y multiplicarlos de la siguiente manera:
2. Después de reacomodar los coeficientes de las variables. El paso a seguir es multiplicar los coeficientes en diagonal, restando después los productos de cada uno de ellos
como resultado tenemos que el determinante del sistema es 29
3. Para hallar el determinante de X hacemos un procedimiento similar, con la única diferencia que en lugar de colocar los coeficientes de X ponemos los términos independientes de cada ecuación
4. El ultimo determinante por hallar es el Y, Como el ultimo procedimiento lo único que cambia es que donde debería ir los coeficientes de Y, colocamos los términos independientes de cada ecuación
Después de hallar los determinantes, lo ultimo por hacer es encontrar los valores de las incógnitas X y Y.
Todo lo que hicimos fue tomar el determinante de X y dividirlo por el determinante del Sistema
Para hallar la incógnita de Y, tomamos el determinante de Y, dividiéndolo por el determinante del sistema.
Los sistemas de ecuaciones son la clave para resolver problemas importantes. Estas se pueden resolver por 3 métodos, igualación, sustitución y reducción.
Método de sustitución:
1.Despejamos una incógnita en una de las dos ecuaciones. La que se vea mas fácil
2. Sustituimos en la otra ecuación la incógnita despejada.
3. Resolvemos la ecuación resultante, y obtenemos el valor de una de las incógnitas
4. Sustituimos el valor obtenido en la ecuación, despejada al principio, para obtener el valor de la otra incógnita
5. Comprobamos los resultados sustituyendo los valores de X e Y en las dos ecuaciones para ver si cumple.
Método de igualación
1.Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones
2. Igualamos las dos expresiones
3. Resolvemos la ecuación resultante y obtenemos el valor de una de las incógnitas
4. Sustituimos el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones, despejadas al principio, para obtener el valor de la otra incógnita
Método de reducción
Consiste en conseguir que al sumar las dos ecuaciones del sistema resulte una ecuación con una sola incógnita
Para ello sera necesario multiplicar los dos miembros de una ecuación para que en las dos ecuaciones los coeficientes de una de las incógnitas sean números opuestos.
9 + 15 - 12 +27
Figura el factor común 3, por lo tanto se puede sacar ese factor y se tiene:
9 + 15 - 12 + 27 = 3. ( 3 + 5 - 4 + 9 )
En el polinomio 3 x + xb - 1/2 xc el factor común es x y se tiene :
3x + xb - 1/2xc = x.( 3 + b - 1/2c)
En el polinomio 2x4a - 4x3a2b + 1/2 xa5c
Sacando factor común x a se tiene:
2x4a - 4x3a2b + 1/2 xa5c = xa: ( 2x - 4x2ab + 1/2a4c )
Regla: Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común,dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.
Segundo caso
Descomposición en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo.
2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b
Agrupo los términos que tienen un factor común
(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )
Saco el factor común de cada grupo
a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:
(a + b) . ( 2x -y +5 )
Regla: Si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor común.Si queda la misma expresión en cada uno de los paréntesis,se la saca,a su vez,como factor común, quedando así factoreado el polinomio dado.
Tercer caso
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.36x2 + 12xy2 + y2 + y4
Es un trinomio cuadrado perfecto
El primer término es el cuadrado de 6x pues (6x)2 = 36x2; el último es el cuadrado de y2, pues (y2)2 = y4, y el segundo término es el doble producto de las bases de esos cuadrados, es decir de 6x por y2,pues 2 × 6x × y2 = 12xy2(6x + y2 )2 = (6x + y2).(6x + y2 )
36x2 + 12xy2 + y4
En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos,en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado:
Todo cuatrinomio de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 en el que dos términos:
a3 y b3, son cubos perfectos; el tercer término : 3a2b, es el triplo del cuadrado de la base del primer término por la base del segundo, y el cuarto término 3ab2,es el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundox3 + 6x2y + 12xy2 + 8 y3
( x -2y )3 = ( x - 2y ). ( x - 2y ). (x - 2y )
x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y 3
Quinto caso
Diferencia de cuadrados
El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo:( a +b ) . ( a - b) = a2 - b2
25 a2y4 - 1/64 x6z8 =
( 5ay2 - 1/8x3z4) . ( 5ay2 +1/8x3z4)
Sexto caso
Suma o diferencia de potencias de igual grado
La suma de potencias de igual grado de exponente impar es divisible unicamente por la suma de sus bases.
( x3 + a3 ) : ( x + a ) = ( x2 - ax + a2)
Como se trata de una división exacta, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente. Luego:
( x3 + a3 ) = ( x + a ). ( x2 - ax + a2 )
La diferencia de potencias de igual grado de exponente impar es igual al producto de la diferencia de las bases por el cociente de dividir la primera diferencia por la segunda
( m3 - 27 n3 ) : ( m - 3 n) = ( m2 + 3mn + 9 n2)
La diferencia de potencias de igual grado de exponente par, es divisible por la suma y la diferencia de sus bases
( x6 - y6 ) : ( x + y ) =
( x + y ). ( x5 - x4y + x3y2 - x2y3 + xy4 - y5 )
( x6 - y6 ) : ( x - y ) =
( x - y ). ( x5 + x4y + x3y2 + x2y3 + xy4 +y5 )
La suma de potencias de igual grado de exponente par no se puede factorear
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos menores a la constante (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a unacontradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.
Junta los términos similares: 2x2 + 3x2 + 6x - 2x + 5 - 1
